Tirs au but

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de `0,7` .

Karim effectue une série de `3`  tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

• \(\text M\)  : « Karim marque un but » ;
  
• \(\text R\)  : « Karim rate le tir au but ».
  

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

1. On note `X`  la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l'issue de cette série de tirs par Karim.
    a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
    b. Déterminer la loi de probabilité de `X` .
    c. Calculer l'espérance \(E(X)\)  de la variable aléatoire `X` .

2. On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise \(15\)  € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte \(6\)  €, et chaque but manqué par Karim ne lui rapporte rien.
On note \(Y\)  la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c'est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
    a. Exprimer \(Y\)  en fonction de \(X\) .
    b. Calculer l'espérance \(E(Y)\)  de la variable aléatoire \(Y\) . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.